Главная
Математика
Калькулятор корней

Калькулятор корней

Извлеките квадратный, кубический или корень любой степени из числа. Калькулятор показывает результат, проверку и короткую запись решения.

Подкоренное число Степень корня

Введите подкоренное число и степень корня. Для квадратного корня оставьте степень 2.

Значение корня

Степень: 2
Проверка: 9² = 81

Решение: √81 = 9

Обновлено 6 августа 2026

Корень n-й степени из числа — это такое число, которое при возведении в степень n даёт исходное. Извлечение корня и возведение в степень — взаимно обратные операции, и именно поэтому калькулятор показывает проверку: 9² = 81.

Как читается запись

В записи ⁿ√a число a называют подкоренным выражением, а n — показателем или степенью корня. Для квадратного корня показатель 2 обычно не пишут: √81 и ²√81 — одно и то же.

Квадратный корень (n = 2) отвечает на вопрос: какое число, умноженное само на себя, даёт исходное. √81 = 9.
Кубический корень (n = 3) — какое число в третьей степени даёт исходное. ³√27 = 3.
Корень произвольной степени считается так же: ⁵√32 = 2, потому что 2⁵ = 32.

Корень как дробная степень

Ключевое тождество, которое упрощает почти все вычисления с корнями:

ⁿ√a = a^1/n

То есть квадратный корень — это степень ½, кубический — степень ⅓. Отсюда сразу следует, как считать более сложные выражения: ⁿ√(a^m) = a^m/n. Например, ³√(8²) = 8^2/3 = 4.

Это же тождество объясняет, почему на инженерном калькуляторе корень произвольной степени берут через возведение в дробную степень — отдельной клавиши для него обычно нет.

Почему корень чётной степени из отрицательного числа не существует

При возведении в чётную степень минусы попарно сокращаются, и результат всегда неотрицателен: (−3)² = 9, как и 3² = 9. Значит, ни одно действительное число в квадрате не даст −9, и √(−9) в действительных числах не определён.

С нечётной степенью такой проблемы нет: ³√(−27) = −3, потому что (−3)³ = −27. Поэтому кубический корень определён для любых чисел, а квадратный — только для неотрицательных.

Есть ещё тонкость: у уравнения x² = 81 два решения, 9 и −9. Но знак √ обозначает арифметический корень — только неотрицательное значение. Поэтому √81 = 9, а не ±9.

Полезные свойства

Корень из произведения равен произведению корней: √(a · b) = √a · √b.
То же для частного: √(a / b) = √a / √b при b ≠ 0.
А вот для суммы это не работает: √(9 + 16) = √25 = 5, а не 3 + 4 = 7. Это самая частая ошибка при работе с корнями.

Где это нужно на практике

Сторона квадрата по площади. Участок 400 м² — это квадрат со стороной √400 = 20 м.
Ребро куба по объёму. Ёмкость на 8 м³ в форме куба имеет ребро ³√8 = 2 м.
Теорема Пифагора. Диагональ прямоугольника 3 × 4 равна √(9 + 16) = 5.
Средний темп роста. Если величина за n периодов выросла в k раз, средний множитель за период равен ⁿ√k. Вклад, удвоившийся за 5 лет, рос в среднем на ⁵√2 ≈ 1,149 — почти 15 % годовых.

Часто задаваемые вопросы

Корень n-й степени из числа a — это число, которое при возведении в степень n даёт a. Проще всего считать через дробную степень: ⁿ√a = a^(1/n). Например, ⁵√32 = 32^0,2 = 2, потому что 2⁵ = 32.

При возведении в чётную степень минусы попарно сокращаются, и результат всегда неотрицателен: и 3², и (−3)² равны 9. Значит, ни одно действительное число в квадрате не даст отрицательного результата. С нечётной степенью это работает: ³√(−27) = −3.

Девяти. Знак √ обозначает арифметический корень — только неотрицательное значение. Два корня, 9 и −9, имеет уравнение x² = 81, но это другая задача: решение уравнения, а не вычисление корня.

Тождеством ⁿ√a = a^(1/n): квадратный корень — это степень ½, кубический — ⅓. Отсюда ⁿ√(a^m) = a^(m/n). Например, ³√(8²) = 8^(2/3) = 4. Именно поэтому на калькуляторах корень произвольной степени берут через дробную степень.

Нет, и это самая частая ошибка. √(9 + 16) = √25 = 5, а не 3 + 4 = 7. Корень из произведения и частного разбивается почленно, из суммы и разности — нет.

Сторона квадрата по площади: участок 400 м² имеет сторону √400 = 20 м. Ребро куба по объёму. Гипотенуза по теореме Пифагора. Средний темп роста: если величина выросла в k раз за n периодов, средний множитель равен ⁿ√k.