Главная
Математика
Калькулятор степеней

Калькулятор степеней

Возведите число в положительную, отрицательную или дробную степень. Калькулятор показывает результат и краткую запись вычисления.

Основание Показатель

Введите основание и показатель степени. Можно использовать отрицательные и дробные показатели.

Значение степени

1 024

Основание: 2
Показатель: 10

Решение: 2¹⁰ = 1 024

Обновлено 6 августа 2026

Возведение в степень — это краткая запись умножения числа само на себя: 2¹⁰ означает десять двоек, перемноженных подряд, и даёт 1024. Основание говорит, что умножаем, показатель — сколько раз.

Показатель может быть любым

Определение «умножить n раз» работает только для натуральных показателей. Остальные случаи доопределены так, чтобы сохранялись свойства степеней:

Нулевой показатель. Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице: 5⁰ = 1. Это не соглашение «от балды»: из правила aᵐ / aⁿ = a^m−n при m = n следует a⁰ = a/a = 1.
Отрицательный показатель означает деление: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Поэтому 2⁻³ = 1/8 = 0,125.
Дробный показатель — это корень: a^1/n = ⁿ√a. Значит 8^2/3 = ³√(8²) = 4.

Ноль в нулевой степени — особый случай, который в разных контекстах доопределяют по-разному, а в общем анализе считают неопределённостью.

Правила действий со степенями

Действие	Правило	Пример
Умножение при одинаковом основании	aᵐ · aⁿ = a^m+n	2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Деление при одинаковом основании	aᵐ / aⁿ = a^m−n	2⁷ / 2³ = 2⁴ = 16
Степень степени	(aᵐ)ⁿ = a^m·n	(2³)² = 2⁶ = 64
Степень произведения	(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(2 · 3)² = 4 · 9 = 36

Обратите внимание, чего в таблице нет: правила для суммы. (a + b)ⁿ не равно aⁿ + bⁿ. (2 + 3)² = 25, а не 4 + 9 = 13. Это самая устойчивая ошибка при работе со степенями.

Знак результата

Отрицательное основание в чётной степени даёт положительный результат, в нечётной — отрицательный: (−2)² = 4, но (−2)³ = −8.

И важная тонкость записи: −2² и (−2)² — разные выражения. В первом сначала выполняется возведение в степень, потом берётся минус, и получается −4. Во втором в степень возводится уже отрицательное число, и выходит 4. Скобки здесь не украшение.

Как быстро растут степени

Показательный рост обгоняет любой линейный и это плохо укладывается в интуицию. 2¹⁰ = 1024, 2²⁰ уже больше миллиона, 2³⁰ — больше миллиарда. Отсюда, кстати, привычка считать килобайт равным 1024 байтам: это 2¹⁰.

Где встречается

Сложный процент. Сумма вклада за n лет умножается на (1 + ставка)ⁿ. Именно степень делает вклад под 10 % за 10 лет не удвоением, а ростом в 2,59 раза.
Площадь и объём. При увеличении линейных размеров вдвое площадь растёт вчетверо, объём — в восемь раз.
Единицы измерения. Приставки кило, мега, гига — это 10³, 10⁶, 10⁹.
Научная запись. Большие и малые числа записывают как множитель на степень десяти: 0,000012 = 1,2 · 10⁻⁵.

Часто задаваемые вопросы

Это следует из правила деления степеней: aᵐ / aⁿ = a^(m−n). При m = n слева получается a/a = 1, а справа a⁰. Значит a⁰ = 1 для любого основания, кроме нуля.

Деление: a^(−n) = 1 / aⁿ. Поэтому 2^(−3) = 1/8 = 0,125. Отрицательный показатель не делает результат отрицательным — он переворачивает дробь.

Корень. a^(1/n) = ⁿ√a, поэтому 8^(2/3) = ³√(8²) = 4. Через дробную степень удобно считать корни любой степени на обычном калькуляторе, где отдельной клавиши для них нет.

Порядком действий. В записи −2² сначала выполняется возведение в степень, затем берётся минус — получается −4. В записи (−2)² в степень возводится уже отрицательное число, и результат равен 4.

Нет. (a + b)ⁿ не равно aⁿ + bⁿ: (2 + 3)² = 25, а не 4 + 9 = 13. Почленно разбиваются только степень произведения и степень частного.

В сложном проценте: сумма умножается на (1 + ставка)ⁿ, поэтому вклад под 10 % за 10 лет вырастает не вдвое, а в 2,59 раза. В геометрии: при удвоении линейных размеров площадь растёт вчетверо, объём — в восемь раз. В приставках единиц: кило, мега и гига — это 10³, 10⁶ и 10⁹.