Главная
Математика
Калькулятор логарифмов

Калькулятор логарифмов

Рассчитайте логарифм числа по заданному основанию. Калькулятор показывает значение логарифма и проверку через степень.

Число Основание

Введите число и основание логарифма. Число должно быть больше нуля, основание больше нуля и не равно 1.

Значение логарифма

Основание: 10
Проверка: 10³ = 1000

Решение: log₁₀(1000) = 3

Обновлено 6 августа 2026

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Запись log₁₀(1000) = 3 читается так: десять в третьей степени даёт тысячу. Поэтому калькулятор и показывает проверку 10³ = 1000.

Логарифм — обратная операция к степени

Возведение в степень и логарифмирование связаны как умножение и деление:

Степень: известны основание и показатель, ищем результат. 2⁵ = ?
Логарифм: известны основание и результат, ищем показатель. log₂(32) = ?

Отсюда сразу два очевидных значения: log_a(a) = 1, потому что a¹ = a, и log_a(1) = 0, потому что a⁰ = 1.

Ограничения — и почему они именно такие

Число должно быть строго больше нуля. Положительное основание в любой степени даёт положительный результат, поэтому получить ноль или отрицательное число невозможно.
Основание больше нуля и не равно единице. Единица в любой степени остаётся единицей, и уравнение 1ˣ = 5 решений не имеет — логарифм по основанию 1 не определён.

Три логарифма, у которых есть имена

Основание	Название	Обозначение	Где применяется
10	десятичный	lg или log₁₀	шкалы величин, децибелы, pH
e ≈ 2,718	натуральный	ln	непрерывный рост, физика, статистика
2	двоичный	log₂	информатика, сложность алгоритмов

Свойства: как логарифм превращает умножение в сложение

Логарифм произведения: log(a · b) = log a + log b
Логарифм частного: log(a / b) = log a − log b
Логарифм степени: log(aⁿ) = n · log a

Первое свойство — историческая причина появления логарифмов. До электронных калькуляторов умножение многозначных чисел заменяли сложением их логарифмов по таблицам, а потом брали обратное преобразование. На этом же принципе работала логарифмическая линейка.

Третье свойство отвечает на вопрос, который иначе решается только подбором: если величина растёт на 7 % в год, за сколько лет она удвоится? Нужно решить 1,07ⁿ = 2, то есть n = log(2) / log(1,07) ≈ 10,2 года.

Переход к другому основанию

На калькуляторах обычно есть только lg и ln. Логарифм по любому основанию сводится к ним:

log_b(x) = ln(x) / ln(b)

Например, log₂(1000) = ln(1000) / ln(2) ≈ 9,97. Формула работает с любым промежуточным основанием — важно лишь использовать одно и то же в числителе и знаменателе.

Где логарифмы встречаются в жизни

Децибелы. Шкала громкости логарифмическая: рост на 10 дБ — это десятикратное увеличение интенсивности звука.
pH. Кислотность — это минус десятичный логарифм концентрации ионов водорода.
Магнитуда землетрясений. Разница в одну единицу означает примерно тридцатикратную разницу в энергии.
Сроки удвоения. Вклады, кредиты, инфляция, рост населения — везде, где нужно найти показатель по результату.

Часто задаваемые вопросы

Это ответ на вопрос, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Запись log₁₀(1000) = 3 означает, что десять в третьей степени даёт тысячу. Логарифм — операция, обратная возведению в степень.

Потому что положительное основание в любой степени даёт положительный результат. Получить ноль или отрицательное число возведением в степень невозможно, поэтому и логарифма у них нет.

Единица в любой степени остаётся единицей. Уравнение 1ˣ = 5 решений не имеет, а 1ˣ = 1 имеет бесконечно много — в обоих случаях однозначного ответа нет, поэтому логарифм по основанию 1 не определён.

Основанием. lg — десятичный логарифм по основанию 10, применяется в шкалах величин, децибелах и pH. ln — натуральный по основанию e ≈ 2,718, встречается в задачах непрерывного роста. log₂ — двоичный, используется в информатике.

Через формулу перехода: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Например, log₂(1000) = ln(1000) / ln(2) ≈ 9,97. Промежуточное основание можно взять любое — важно использовать одно и то же в числителе и знаменателе.

Через свойство логарифма степени. Если величина растёт на 7 % в год, нужно решить 1,07ⁿ = 2, откуда n = log(2) / log(1,07) ≈ 10,2 года. Так же считают сроки удвоения вклада, роста цен и инфляции.